Чтобы ответить на вопрос о геометрии четырехмерного пространства, стоит начать с самого простого – точки. Точка нульмерна и не имеет длины, ширины и высоты. Если провести от точки по прямой линию, получится некий отрезок, ограниченный и имеющий только одно измерение – длину.

Одномерная система координат представлена числовой осью и обозначается Х. Теперь преобразование отрезка в направлении, перпендикулярном одномерному направлению, приведет ко второму измерению. Например, если от обеих границ отрезка перпендикулярно ему провести линии, получится квадрат.

У квадрата есть два измерения — ширина и высота, и он лежит в некоторой плоскости. Плоскость — это двухмерное пространство. Двухмерная система координат (декартова) состоит из двух взаимно перпендикулярных осей Х и Y.

Если сдвинуть прямоугольник в направлении перпендикулярном плоскости, в которой он лежит, получится куб — трёхмерный объект, у которого есть длина, ширина и высота. Он расположен в трехмерном пространстве.

В трехмерной системе координат три взаимно перпендикулярных оси – Х, Y и Z.

Идея добавления четвертого измерения возникла у Жана ле Ронд д’Аламбера в 1754 году, но точная формулировка концепции была предложена в 1854 году Бернхардом Риманном. А в 1880 году Чарльз Говард Хинтон популяризировал эти идеи в эссе под названием «Что такое четвертое измерение?», в котором объяснялась идея четырехмерного куба.

Простейший метод изображения формы по Хинтону — нарисовать два обычных куба на некотором расстоянии друг от друга, а затем провести линии между их вершинами. В этом случае восемь линий, соединяющих вершины двух кубов, представляют собой одно направление в четвертом измерении. Получившаяся фигура имеет название тессеракта или гиперкуба.

В четырехмерном пространстве точке соответствует четверка чисел-координат, появляется четвертая ось.

Четвертая ось перпендикулярна всем первым трем. Это невозможно в третьем измерении и представлено лишь теоретически, поэтому, чтобы представить четырехмерный куб, необходимо спроецировать его в трехмерное пространство:

В четвертом же измерении все ребра тессеракта одинаковы и все углы прямые. И если грани трехмерного куба сложены из восьми двухмерных плоскостей, то грани тессеракта будут сложены из восьми кубов.

Существует концепция, тесно связанная с проекцией — отбрасывание тени. Например, если свет падает на трехмерный куб, то будет отбрасываться двухмерная тень в виде квадрата. По аналогии, свет, падающий на двухмерный объект, будет отбрасывать одномерную тень в виде линии, а тенью одномерной линии будет нульмерная точка. Если пойти по другому пути, можно сделать вывод, что свет, падающий на тессеракт в четырехмерном мире, будет отбрасывать трехмерную тень в виде куба.