Что такое фракталы?

Термин «фрактал» (от лат. fractus — дробный) ввел в обиход математик Бенуа Мандельброт в 70-х годах XX века. Хотя строгого математического определения у этого понятия нет, обычно под фракталом понимают фигуру, обладающую свойством бесконечного самоподобия.

Это значит, что при любом увеличении объект выглядит идентично (или очень схоже) со своей исходной формой. Часть картинки воспроизводит структуру всего изображения целиком. Чтобы представить это, достаточно подумать о снежинке: каждый из ее шести лучей при приближении сам оказывается похожим на маленькую шестилучевую снежинку.

Математики выделяют несколько основных классов фракталов:

1. Геометрические (конструктивные) фракталы. Их строят с помощью простых рекурсивных процедур — копирования и масштабирования.

   • Снежинка Коха: В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Шведский математик Хельге фон Кох описал ее в 1904 году. Она строится путем деления отрезка на три части и замены центральной части равносторонним треугольником. Этот процесс повторяется бесконечно, создавая кривую, к которой невозможно провести касательную ни в одной точке.

   • С-кривая Леви: описана в 1938 году Полем Пьером Леви, наставником Мандельброта.

2. Алгебраические (динамические) фракталы. Они описываются математическими формулами и итерациями функций.

   • Множества Жюлиа и Фату: основы этого направления заложили Гастон Жюлиа и Пьер Фату в начале XX века. Их фундаментальные труды содержали сотни страниц вычислений, но в них не было ни одной иллюстрации — вычислить и нарисовать такие объекты вручную было невозможно.

   • Множество Мандельброта: стало символом фрактальной геометрии благодаря появлению компьютеров во второй половине XX века.

Вновь внимание к работам Жюлиа и Фату обратилось лишь полвека спустя, с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов. Ведь Фату никогда не мог посмотреть на изображения, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Первым, кто использовал для этого компьютер был Бенуа Мандельброт . Долгое время фракталы считались абстрактными «математическими монстрами». Только с появлением компьютеров мир увидел их настоящую красоту.

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

На многие растения можно посмотреть как на квазифракталы, то есть как на объекты, похожие на фракталы. Один из самых ярких примеров — это лист папоротника. Каждый лист, отходящий от центрального стебля, состоит из такого же стебля меньшего размера и более мелких листочков. Конечно, строго говоря, фракталом назвать это нельзя: у папоротника есть самые мелкие листочки, которые не делятся дальше, но в целом он напоминает фрактал, поэтому его относят к квазифракталам.

Так же выглядит наше легочное дерево: от центрального ствола — трахеи — отходят крупные бронхи, которые делятся на мелкие бронхи, а те в свою очередь на все более и более мелкие бронхиолы. Такое устройство легких позволяет в небольшом объеме грудной клетки разместить очень много сосудов. Чем больше сосудов помещается в легких, тем больше площадь поверхности, через которую проходит кислород при дыхании, тем быстрее кровь насыщается кислородом и тем быстрее мы можем двигаться. Математики говорят, что даже если бы они создавали оптимальное устройство легких с нуля, не глядя на то, что придумано природой, то они все равно бы пришли к фрактальному строению легких.

Не только легкие в нашем теле устроены как фракталы. Фрактальное строение имеют и кора головного мозга, и сосуды глаза, и петли кишечника. Для того, чтобы поставить диагноз пациенту, врачи часто опираются на медицинские снимки, например, рентгеновские или ультразвуковые. Применяя знания о свойствах фракталов, математики пишут программы для анализа снимков, а врачи, пользуясь этими программами, могут сделать вывод о том, здоров ли орган или поврежден.

Фрактальное строение имеют не только растения, но и многие природные объекты: горы, фьорды и облака. Все они состоят из меньших частей, каждая из которых повторяет по форме целый объект. Именно поэтому компьютерная графика пейзажей должна строиться на фракталах — чтобы добиться максимальной реалистичности картинки. Все алгоритмы, с помощью которых в кино и видеоиграх рисуют природу, основаны на принципе построения фракталов: из примитивного изображения шаг за шагом получается более сложная фигура, все больше похожая на те причудливые формы, которые мы видим, смотря на леса, горные хребты и небо.

Фракталы могут показаться необычными и далекими от жизни «выдумками» математиков, но чем больше ученые узнавали о них, тем чаще встречали фрактальные формы в тех областях науки, которые уже были известны. Сейчас знания о фракталах могут быть полезны и программисту, и врачу, и художнику. Фундаментальность и естественность фракталов позволяют предположить, что в будущем мы увидим все новые и новые их применения.