Теорема Геделя о неполноте
В 1931 году математик Курт Гедель опубликовал статью, которая перевернула мир математической логики.
Что вы узнаете в статье
- Что означает первая теорема Геделя о неразрешенных предположениях в формальных системах аксиом
- Почему полная система аксиом в статье связывается с внутренней противоречивостью
- Как вторая теорема Геделя показывает невозможность доказать полноту системы внутри самой системы
- Почему Пенроуз использовал теоремы Геделя для различения человеческого мозга и компьютера
- Как недоказуемые внутри аксиоматики утверждения рассматриваются в связи с опытом и человеческим мышлением
Содержание
«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».
Это значит, что всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна.
Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо». То есть, если система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива.
Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной системы аксиом. То есть, приходится мириться с тем, что в контексте любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые являются заведомо истинными или ложными, — и мы можем судить об их истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть.
Итак, формулировка первой, или слабой, теоремы Геделя о неполноте: «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения». Но на этом Гедель не остановился, сформулировав и доказав вторую, или сильную, теорему о неполноте: «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)».
Было бы спокойнее думать, что теоремы Геделя носят отвлеченный характер и касаются только высшей математической логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга.
Английский математик и физик Роджер Пенроуз показал, что теоремы Геделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Геделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность — исходя из повседневного опыта. По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Геделя, а компьютерный — никогда. Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения и тест Тьюринга пройдет успешно.
Не пропустите самое важное о науке и здоровье!
Подпишитесь на рассылку и получайте самые важные новости прямо на вашу почту
Ключевые выводы
- Теоремы Геделя показывают, что достаточно сложная формальная система аксиом либо неполна, либо противоречива
- Первая теорема утверждает, что любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения
- Вторая теорема утверждает, что полноту или неполноту системы нельзя доказать в рамках самой этой системы
- Пенроуз связывает теоремы Геделя с идеей, что человеческий мозг не сводится к обычному компьютеру
- В статье компьютер описан как ограниченный формальной логикой, а человек — как способный выходить за ее рамки
Опубликовано
Июль, 2024
Продолжительность чтения
1-2 мин
Категория
Математика
Поделиться
