Математика — древняя фундаментальная наука, в рамках которой свойства реальных или вымышленных объектов идеализируются и записываются на формальным языке. Возникла математика на основе таких простейших операций, как подсчет, измерение, сравнение и описание форм реальных объектов. Это наука о порядке во всем. Она используется для точной формулировки содержания естественных и гуманитарных наук. Можно сказать, что математика есть основа основ, универсальный язык, которым возможно рассказать о чем угодно.

Галилео Галилей сказал: «Книга природы написана на языке математики». Иммануил Кант вторил ему: «Во всякой науке столько истины, сколько в ней математики». Немецкий математик и логик Давид Гильберт подытожил: «Математика — основа всего точного естествознания».

Но где вся эта математика, о которой мы говорим? Если вы посмотрите вокруг, то вероятно увидите несколько цифр здесь и там — номера домов, страниц в книге или числа в календаре. Однако это всего лишь символы, придуманные людьми. Математики изучают абстрактные структуры гораздо более разнообразные. Например, если бросить камень и понаблюдать за ним, то можно заметить, что он имеет определенную форму движения. Полет любого предмета будет иметь одну и ту же траекторию — перевернутую параболу. Когда мы наблюдаем, как планеты движутся по орбитам в пространстве, мы обнаруживаем другую повторяющуюся форму — эллипс. Получается, что все во Вселенной, включая людей, является частью математической структуры. И чем больше мы изучаем эту обширную систему из чисел, уравнений и закономерностей, тем больше можем понять саму природу. При этом мы не изобретаем математические структуры, а лишь обнаруживаем их и разрабатываем обозначения для описания.

Хорошо знакомая нам математика изучает количество, структуру, пространство и изменения (арифметика, алгебра, геометрия и анализ соответственно). В дополнение к этим основным операциям существует логика, теория множеств, изучение неопределенности и т. п. Математика — одна из немногих областей знаний, в которой существуют точные закономерности, такие как последовательность Фибоначчи, закон Клайбера, теория больших чисел и многие другие.

В окружающем мире работает множество математических закономерностей. Одна из них — последовательность Фибоначчи. Это ряд чисел, в котором каждое является суммой двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так далее — формально последовательность бесконечна. При чем же здесь природа? Если внимательно подсчитать расположение листьев и ветвей на стеблях многих растений или количество лепестков цветов, вы получите числа 3, 5, 8, 13, 21, 34 или 55. Соотношения частей тела человека также основаны на последовательности. Каждая кость указательного пальца от кончика до основания запястья больше предыдущей, что соответствует числам 2, 3, 5 и 8.

Почему числа Фибоначчи так важны? В последовательности скрыта гармония, близкая к «золотому сечению» («божественной пропорции») и равная 1.61803398875… Если вы разделите одно число в последовательности Фибоначчи на предыдущее, то получится:

1/1 = 1

2/1 = 2

3/2 = 1,5

5/3 = 1,6666

8/5 = 1,6

13/8 = 1,625

21/13 = 1,61538462

34/21 = 1,61904762

Поскольку серия продолжается, золотая середина приближается к числу 1,618, становясь все ближе, но так и не достигнув этого значения.

Если изобразить последовательность Фибоначчи графически, то получается спираль Архимеда:

Это плавная линия, проведенная через углы прямоугольников, увеличение шага которой всегда равномерно. Каждый прямоугольник имеет соотношение длин сторон, приближающееся к «золотому» — 1,618:1, и обладает такой особенностью: если от него отрезать квадрат, то снова получится такой же прямоугольник, но меньшего размера, и так до бесконечности.

Вселенная наполнена такими спиральными конструкциями. Их можно найти в форме ДНК, цветов, ураганов, волн, раковин улиток, шишек, отпечатков пальцев и даже Галактик — везде, где природе требуется заполнить пространство экономично и равномерно.

Возможно, самая поразительная математическая закономерность заключается в том, что сердца всех млекопитающих совершают в течение жизни приблизительно одно и то же число сокращений — около полутора миллиардов, хотя мелкие животные (например, мыши) живут всего по несколько лет, а крупные (например, киты) могут прожить сотню лет или даже больше. Эта систематическая закономерность подчиняется простой математической формуле: скорость метаболизма пропорциональна массе организма в степени ¾.

Простыми словами, если размеры одного животного вдвое больше размеров другого (10 кг и 5 кг или 1000 кг и 500 кг), то можно предположить, что и уровень метаболизма первого животного должен быть в два раза выше. Однако уровень метаболизма не удваивается; на самом деле его увеличение составляет всего лишь около 75%, что соответствует громадной экономии энергии — по 25 % на каждое удвоение размера. Таким образом, существует закономерность: чем крупнее организм, тем меньше энергии требуется произвести в секунду на каждую его клетку для поддержания жизни.  Например, клетки тела слона потребляют всего около одной десятой энергии, необходимой клеткам крысы, и работают в десять раз менее интенсивно. Это приводит к соответствующему снижению уровня клеточных повреждений и износа в метаболических процессах, что лежит в основе большего долголетия слонов и дает нам возможность понять процесс старения.

Эта математическая закономерность, сформулированная швейцарским биологом Максом Клайбером, применима почти для всех млекопитающих, птиц, рыб, моллюсков, бактерий, растений и клеток. Не менее удивительно, что сходные законы действуют для всех физиологических величин и жизненных процессов: частоты сердцебиения, скорости эволюции, высоты деревьев, длины генома, количества серого вещества мозга, продолжительности жизни и даже скорости роста организма.

Таким образом, почти все физиологические характеристики и события жизненного цикла любой особи определяются в первую очередь ее размерами. Поскольку клетки крупных организмов вынуждены работать медленнее, чем клетки организмов более мелких, темп жизни систематически снижается с ростом размеров: крупные млекопитающие живут дольше, их взросление занимает больше времени, сердца бьются медленнее, а клетки работают менее интенсивно, чем у мелких существ. Если масса организма удваивается, то одновременно с этим увеличивается и продолжительность жизни животного, и длительность периода взросления в среднем приблизительно на 25%, но скорость протекания процессов в его организме (например, частота сердцебиения) при этом замедляется в той же пропорции.

По мере роста любого биологического организма образуются структуры высокой сложности, которые требуют объединения огромного количества составных частей и их эффективного обслуживания. В живых системах такая задача решается путем развития фракталоподобных (самоповторяющихся) сетевых конструкций. Например, на такой самоподобной  структуре основана система кровообращения. Благодаря разветвлению крупных артерий до крошечных капилляров кровь, несущая кислород, достигает всех частей тела. Легкие также имеют фрактальную конструкцию. Задача максимизации переноса кислорода в кровоток решается ветвлением бронхов на альвеолы и трубчатые мембраны с воздушными каналами.

Другими словами, выделив небольшую часть из структуры, имеющей свойства фрактальности, можно рассмотреть ее в некотором увеличении и обнаружить, что она подобна всей системе в целом; выделив еще более мелкую часть из уже вырезанного куска и увеличив ее, снова увидим, что и она подобна первоначальному устройству. Такая структура позволяет природе легко создавать сложную многомасштабную конструкцию, экономить энергию и максимально заполнять пространство.

Многие из нас даже не подозревают о том, что почти все ежедневные события в нашей жизни являются следствием совместного влияния большого числа мелких факторов. Например, время, проведенное в пути на работу, зависит от пробок, светофоров, транспорта, людей и непредвиденных обстоятельств. Но если постоянно ездить на работу, складывается некоторое среднее время с небольшими отклонениями. Математической формулировкой такого явления служит закон больших чисел.

Он постулирует о том, что при увеличении числа испытаний, когда один и тот же эксперимент повторяется большое количество раз, среднее арифметическое результатов приближается к ожидаемому значению. Представьте себе монету. На одной стороне орел, на другой — решка. Каждый раз, когда вы подбрасываете монету, есть 50% вероятность того, что выпадет орел. Чем больше раз повторяется эксперимент, тем ближе среднее число к 50%.

Принимая решения в повседневной жизни люди очень часто неосознанно пользуются законом больших чисел. Например, решив отправиться зимой на отдых на море, человек имеет ясное представление о том, какая погода там ожидается. Результаты многолетних метеорологических наблюдений позволяют предсказать температуру воздуха и воды, которые практически не отличаются от среднеарифметических значений в это время года.

Другое интересное приложение этого математического закона в нашей жизни — применение плацебо (любая имитация медицинского вмешательства). Есть 50% вероятность того, что оно сработает и такая же отрицательная возможность — это среднее значение. Чем больше будет экспериментов с применением плацебо-препаратов, тем ближе будет результат к среднему арифметическому. Недавние исследования канадских ученых показали, что с каждым годом все больше падает эффективность тестируемых препаратов по отношению к плацебо, эффект которого распространяется на все большее количество людей. Ученые заявляют, что многие распространенные лекарства в наши дни не прошли бы клинических испытаний.

На законе больших чисел основываются практически все методы статистического наблюдения. Это не просто явление из области теории вероятностей, но феномен, с которым мы сталкиваемся практически каждый день в своей жизни.

По мере того как развивается наука, математические методы расширяются и проникают в самые разные области знаний, разрабатываются новые инструменты для описания явлений и обнаруживаются скрытые закономерности. Самыми яркими примерами по праву считаются теорема Геделя о неполноте, неевклидова геометрия искривленного пространства и нечеткая логика.

До того, как теорема Геделя была опубликована в 1931 году, считалось, что не только все доказано математикой, но и что в ее концептуальной Вселенной все истинное может быть доказано. Гедель разбил эту мечту и навсегда изменил наше понимание математики. Ученый показал, что в определенных математических системах существуют истинные утверждения, которые невозможно доказать. И он сделал это с удивительной ловкостью, выдвинув математическое утверждение, которое было правдивым и недоказуемым.

Простым примером этого была аксиома равенства (X = X). Предполагается, что это истинное утверждение, но на самом деле мы не можем подкрепить его математическим доказательством, таким образом любая адекватная теория неполна или непоследовательна. То есть, как бы мы не старались, то никогда не сможем свести всю математику к применению фиксированных правил. Независимо от того, сколько процедур записано, всегда будут некоторые правдивые факты, которые нельзя доказать. Математическому знанию суждено остаться вечно неполным.

Некоторые ученые, прежде всего Оксфордский математик и физик сэр Роджер Пенроуз, использовали теорему Геделя о неполноте, чтобы доказать, что человеческий мозг не работает как компьютер, а искусственный интеллект недостижим. Суть рассуждений заключается в том, что в математике есть элемент, который является полностью творческим, и нам нужно сознательно чувствовать или оценивать истинность утверждения, которое не доказывается доступными аксиомами, в то время как машина действует строго логически. Именно поэтому наш интеллект не может быть смоделирован компьютером.

Обширное применение в современной науке получила геометрия искривленного пространства, названная неевклидовой. Классическая плоская геометрия верна лишь в небольших масштабах, а вот в объемах Солнечной системы или любой галактики она уже не работает.

Так, все человечество живет на поверхности Земли, а это почти сферический объект. Одна из причин, по которой неевклидову геометрию трудно принять, заключается в том, что она противоречит нашему практическому опыту. Возникает когнитивный диссонанс: мы воспринимаем наш мир как плоский, даже если Земля сферическая. Легко представить город в виде сетки с пересекающимися прямыми улицами. Это восприятие работает, потому что кривизна Земли незначительна по сравнению с размерами наших городов. Но представьте, что вы находитесь на поверхности большой сферы, настолько большой, что вы не можете сказать, что она круглая. Если вы проведете линию, она не будет совершенно прямой. Эквивалентом прямой линии на шаре будет линия, идущая прямо по его окружности:

Математика оперирует не только числами, уравнениями и пространственными структурами, но и логическими операциями. Каждый день мы сталкиваемся с множеством задач, решение которых требует от нас способности к логическому мышлению. Правда в том, что большую часть времени мы используем нечеткую логику. Со времен Аристотеля основные правила логики были ясны. Вещи либо имели определенные свойства, либо не имели — не было полумер, и ничто не могло быть и тем, и другим одновременно. Логика была двузначной — истинной или ложной. Но в 1930-х годах польский математик Ян Лукасевич задумался о таких утверждениях, которые и не правдивы, и не ложны, вроде «завтра будет дождь», которое не проверить, пока не наступит завтрашний день. Или стакан теплой воды — он и не холодный, и не горячий. Такой логике нужны как минимум три значения.

И спустя полвека математик из Беркли Лотфи Заде предложил несколько категорий истины нечеткой логики: 1) совершенно истинно, 2) довольно правдиво, 3) не сказать, правда или нет, 4) в основном неправда и 5) совершенно неправда. Термин «нечеткий» относился к тем вещам, которые неясны или расплывчаты. С тех пор нечеткая логика нашла применение в самых разных сферах. В реальном мире мы постоянно сталкиваемся с ситуациями, когда не можем определить, является ли состояние на 100% истинным или ложным, и пользуемся гибкостью мышления. Таким образом, мы можем учесть неточности и неясность любой ситуации. Сегодня ваша стиральная машина или автоматическая коробка передач в автомобиле, скорее всего, имеет контроллер нечеткой логики. В конце концов, мы живем в мире, который построен на неопределенности.

Математика — это всего лишь инструмент, изобретенный для объяснения окружающей действительности, считают некоторые ученые. С этим утверждением согласны не все. По мнению астрофизика Макса Тегмарка, математическая структура, обнаруженная в естественном мире, показывает, что математика существует в реальности, а не только в человеческом уме. И одним из следствий математической природы Вселенной является то, что ученые могут теоретически предсказать результат каждого наблюдения.

Один и тот же математический закон может управлять множеством явлений. Например, тригонометрические функции применяются ко всем волновым движениям: свету, звуку, радиоволнам и многим другим. Даже вещи, которые мы можем увидеть и потрогать имеют математические пропорции и узоры. Разбираясь в закономерностях и изучая основы устройства природы, мы можем не только понимать окружающий мир, но и формировать и совершенствовать его. Благодаря этому математика лежит сегодня в основе большинства технологий, многими из которых мы пользуемся каждый день. Так, когда вы слушаете собеседника по телефону, вы на самом деле слышите не его голос, а лишь математически воссозданную речь.

Стремительно происходит математизация здравоохранения. Уравнения квантовой механики сделали возможным все — от транзисторов и полупроводников до электронной микроскопии и магнитно-резонансной томографии. Новые технологии и методы, основанные на математических достижениях, проникают в медицину всего мира. Именно активное применение этой науки может оказаться решающим фактором в ускорении мировой революции в области здоровья и продления жизни.