Чтобы описать самые разные пространства и разные геометрии, мы будем говорить о расстоянии между точками этого пространства. Скажем, мы вышли из дома и прошли один километр к востоку и один километр к северу. Начальную и конечную точки нашего пути в евклидовом пространстве разделяет расстояние примерно в 1,414 км. Мы могли бы записать это в виде формулы и сказать, что квадрат расстояния в евклидовом пространстве равен сумме квадратов длин отдельных отрезков. В геометрии это утверждение превращается в теорему Пифагора и применяется к треугольникам, но не будем забывать, что на самом деле мы говорим всего лишь о расстоянии между двумя точками в пространстве.

В эллиптическом пространстве расстояние между двумя точками, связанными двумя перпендикулярными километровыми отрезками, окажется меньше 1,414 км. Чтобы понять, как выглядит это пространство, представьте шар диаметром 1,273 км. Двигаясь из точки на экваторе шара вдоль экватора, вы можете пройти один километр, повернуть налево и пройти еще один километр, попав на северный полюс шара. Начальную точку вашего маршрута и конечную точку соединяет теперь не 1,414 км, а всего один километр расстояния по поверхности шара. Мы можем представить такой путь, как замкнутый маршрут: километр на восток, поворот налево, километр на север, поворот налево, и еще через километр пути мы возвращаемся в исходную точку.

Гиперболическое пространство — другой частный случай пространства, в котором не выполняется теорема Пифагора: там расстояние между двумя точками оказывается больше расстояния в плоском пространстве.

Более наглядный и жизненный пример необычных расстояний мы можем увидеть, наблюдая за ростом клеток и растений. Например, в обычном евклидовом пространстве расстояние от центра круга до самой дальней его точки — радиус — и длина окружности связаны простым и известным нам со школы соотношением: длина окружности примерно в 6,28 раз больше, чем радиус. Представим теперь, что по окружности выложены живые клетки, которые начинают расти и размножаться, но не могут выйти за пределы окружности: например, выложим клетки вдоль стенки плоской круглой чашки. Со временем в цепочке клеток появятся петли, направленные к центру чашки. Радиус нашей фигуры, состоящей из живых клеток, по-прежнему ограничен размерами нашей чашки, но длина цепочки из клеток теперь может быть в 7-10 раз больше, чем радиус.

Узоры и спирали, которые мы видим в расположении семян подсолнуха и чешуек шишек, тоже появляются благодаря такому росту. Каждое семечко подсолнуха растет отдельно, не зная, какое место занимают соседние с ним семена, но из-за того, что общий размер соцветия ограничен, семечки в центре начинают сжиматься, чтобы дать место другим растущим семенам. Если на соцветии подсолнуха считать каждое семечко за один «шаг», мы сможем на плоском соцветии найти такой же треугольник, какой уже видели в эллиптической геометрии: замкнутый маршрут, состоящий из трех шагов в одном направлении, поворота налево, трех шагов в перпендикулярном направлении, поворота налево, и трех шагов в перпендикулярном направлении.

Еще один пример необычного расстояния — филогенетические деревья. Так называют схемы, на которых изображены разные виды живых существ, а линиями показан процесс их эволюции и происхождения от общих предшественников. Филогенетические деревья обычно строят, изучая геномы родственных видов и подсчитывая, насколько они отличаются друг от друга. Зная, с какой частотой обычно происходят изменения в генах, биологи могут рассчитать, сколько лет назад родственные виды еще принадлежали к одному и тому же виду с одинаковым геномом.

Для расстояний между тремя точками на филогенетическом дереве справедливо неравенство треугольника, но справедлива еще более строгая версия неравенства: теперь расстояние между парой точек должно быть не просто меньше суммы расстояний, но меньше, чем любое из расстояний до третьей точки. Такое пространство называется ультраметрическим. Одно из его необычных свойств — расстояние от корня филогенетического дерева до каждой из его вершин одинаково, несмотря на то, что расстояние между этими двумя вершинами может быть маленьким или большим. Такое устройство филогенетических деревьев в эволюционной биологии называется молекулярными часами: расстояние между двумя родственными видами, которое можно определить по различию в молекулах ДНК, как будто измеряет время, прошедшее с момента расхождения этих видов.

Плоская евклидова геометрия и связанные с ней свойства пространства кажутся нам привычными, и легко подумать, что это единственно возможный вариант пространства. Тем не менее, в науке часто возникают примеры пространств, в которых расстояние между двумя точками — а за точки в пространстве, как мы видели, ученые могут принимать и целые виды животных, и клетки живых тканей, и семена растений — уже не подчиняется привычной теореме Пифагора.