Что такое фрактал?

Термин «фрактал» (лат. fractus — дробный) ввел в обиход математик Бенуа Мандельброт в 70-х годах ХХ века. Чтобы понять, является ли объект перед вами фракталом, увеличьте изображение (например, взяв микроскоп) и проверьте, идентично ли оно исходному объекту. Если да, или вы увидели очень схожую картинку, то перед вами фрактал. Сколько бы раз вы ни приближали картинку, структура должна повторяться. Иными словами, фрактал должен обладать свойством бесконечного самоподобия: часть картинки воспроизводит всю картинку целиком.

Чтобы это представить, подумайте о снежинке. У всех снежинок от центра расходятся шесть лучей. Если посмотреть в отдельности на каждый луч, то легко заметить, что он тоже разбивается шесть лучей поменьше, повторяя структуру целой снежинки.

Множество Мандельброта

Виды фракталов

Давайте посмотрим на пример геометрического фрактала. Их удобно изучать, потому что они не только описываются математическими формулами — их можно нарисовать на листе бумаги.

Нарисуем на листе бумаги отрезок прямой. Поделим его на три равные части. Вместо центральной части теперь нарисуем равносторонний треугольник. Две боковых части отрезка и две новых стороны треугольника образуют ломаную из четырех звеньев. К каждому из этих звеньев можно применить такие же шаги: разделить на три части и центральную часть достроить до треугольника.

Если бы мы смогли повторить эти шаги бесконечное число раз, мы бы получили фрактальную кривую. Такая кривая называется снежинкой Коха в честь шведского математика, который ее придумал. В своей статье 1904 года он предложил такой пример кривой, к которой ни в одной точке нельзя провести касательную. Если мы попробуем построить снежинку Коха на практике, то мы не сможем, конечно, сделать бесконечное число шагов, но каждый раз мы будем получать все лучшее и лучшее приближение.

Можно описать фрактал и математическими формулами.

В это сложно поверить, но в первых исследованиях фракталов в конце XIX-начале ХХ веков были только громоздкие математические формулы и совсем не было иллюстраций. Поэтому об этих работах на какое-то время забыли. По-настоящему они проявили себя только во второй половине ХХ века, когда появились компьютеры и стало возможным нарисовать то, что было описано в этих работах. Только тогда весь мир увидел красоту фракталов. Сегодня уже любой персональный компьютер обладает достаточной мощностью для того, чтобы рассчитать и нарисовать не один фрактал, но целые фрактальные картины. Отсюда пошло целое направление в искусстве — фрактальная живопись.

Фракталы в природе

На многие растения можно посмотреть как на квазифракталы, то есть как на объекты, похожие на фракталы. Один из самых ярких примеров — это лист папоротника. Каждый лист, отходящий от центрального стебля, состоит из такого же стебля меньшего размера и более мелких листочков. Конечно, строго говоря, фракталом назвать это нельзя: у папоротника есть самые мелкие листочки, которые не делятся дальше, но в целом он напоминает фрактал, поэтому его относят к квазифракталам.

Применение принципов фрактальности в биологии

Так же выглядит наше легочное дерево: от центрального ствола — трахеи — отходят крупные бронхи, которые делятся на мелкие бронхи, а те в свою очередь на все более и более мелкие бронхиолы. Такое устройство легких позволяет в небольшом объеме грудной клетки разместить очень много сосудов. Чем больше сосудов помещается в легких, тем больше площадь поверхности, через которую проходит кислород при дыхании, тем быстрее кровь насыщается кислородом и тем быстрее мы можем двигаться. Математики говорят, что даже если бы они создавали оптимальное устройство легких с нуля, не глядя на то, что придумано природой, то они все равно бы пришли к фрактальному строению легких.

Применение принципов фрактальности в медицине

Не только легкие в нашем теле устроены как фракталы. Фрактальное строение имеют и кора головного мозга, и сосуды глаза, и петли кишечника. Для того, чтобы поставить диагноз пациенту, врачи часто опираются на медицинские снимки, например, рентгеновские или ультразвуковые. Применяя знания о свойствах фракталов, математики пишут программы для анализа снимков, а врачи, пользуясь этими программами, могут сделать вывод о том, здоров ли орган или поврежден.

Применение принципов фрактальности в современных технологиях

Фрактальное строение имеют не только растения, но и многие природные объекты: горы, фьорды и облака. Все они состоят из меньших частей, каждая из которых повторяет по форме целый объект. Именно поэтому компьютерная графика пейзажей должна строиться на фракталах — чтобы добиться максимальной реалистичности картинки. Все алгоритмы, с помощью которых в кино и видеоиграх рисуют природу, основаны на принципе построения фракталов: из примитивного изображения шаг за шагом получается более сложная фигура, все больше похожая на те причудливые формы, которые мы видим, смотря на леса, горные хребты и небо.

Заключение

Фракталы могут показаться необычными и далекими от жизни «выдумками» математиков, но чем больше ученые узнавали о них, тем чаще встречали фрактальные формы в тех областях науки, которые уже были известны. Сейчас знания о фракталах могут быть полезны и программисту, и врачу, и художнику. Фундаментальность и естественность фракталов позволяют предположить, что в будущем мы увидим все новые и новые их применения.