Представим, что нам нужно доказать некое утверждение. Как мы это сделаем? Будем использовать систему правил, опираясь на них в нужном порядке. Согласно первой (слабой) теореме Геделя о неполноте, всегда найдется какое-то утверждение, о котором мы не можем сказать, верно ли оно, используя только выбранную систему аксиом.

Что мы делаем, когда не можем что-то подтвердить? У нас есть два варианта: согласиться, что это утверждение безосновательно, или добавить его в виде новой аксиомы к предыдущему набору правил. Однако высказываний, которые нельзя доказать, бесконечное число. Как бы мы ни старались сделать нашу систему правил всеохватывающей и полной, мы никогда не сможем заявить, что она учитывает все случаи, если опираться только на нее саму. Показывая истинность того, что сами правила действительно учитывают все, нам придется выйти за рамки и добавить к ним дополнительные аксиомы. Об этом говорит вторая (сильная) теорема Геделя о неполноте. Она дает пример недоказуемого утверждения: невозможно, пользуясь любой, сколь угодно сложной и обширной системой аксиом, доказать, что сама эта система аксиом полна.

Английские ученые Джон Лукас и Роджер Пенроуз использовали теорему Геделя для того, чтобы продемонстрировать превосходство человеческого разума над компьютером. Искусственный интеллект действует строго по заданным алгоритмам и всегда остается в рамках формальной (бинарной, состоящей из 0 и 1) логики, а наш мозг этим не скован. Согласно теореме Геделя, всегда найдется такое утверждение, которое компьютер не сможет обработать. В то же время человек сможет определить истинность этого утверждения, используя предыдущий опыт и интуицию. Джон Лукас, таким образом, в своей статье в 1960-х годах высказал предположение, что мозг человека, например, ученого-математика, работающего над задачами, должен чем-то принципиально отличаться от электронных машин.

Именно этот аспект может заинтересовать специалистов по искусственному интеллекту. В 60-х и 70-х годах ХХ века ученые, в частности, американский исследователь искусственного интеллекта Терри Виноград, приложили много усилий, чтобы создать компьютер, работающий в точности как человеческий мозг. Однако Роджер Пенроуз в своих книгах «Новый ум короля» и «Тени разума» продолжил развивать идеи Джона Лукаса. Согласно Пенроузу, машины, построенные даже из очень большого числа логических схем (из нулей и единиц), следуют исключительно формальной логике. Если мы хотим создать достоверную модель человеческого мозга, то наши попытки выстроить ее по образу и подобию компьютера будут тщетны. Высказав эту идею, Роджер Пенроуз стал исследовать в своих работах, какой же именно элемент отличает человеческий мозг от кремниевых машин. По его мнению, человеческое сознание имеет квантовую природу.

Гипотеза Пенроуза вызвала много дискуссий: некоторые ученые, такие как, американский нейробиолог Стюарт Хамерофф или шведско-американский космолог и астрофизик Марк Тегмарк, начали экспериментально проверять, действительно ли структуры в человеческом мозге могут проявлять квантовые свойства. Другие специалисты, например, американский физик и информатик Дуглас Хофштадтер, считают, что сама данная идея, опирающаяся на теорему Геделя, может быть неверной: мышление человека совсем не обязано быть непротиворечивой формальной системой или вообще формальной системой, к которой можно было бы применять теорему Геделя. Дуглас Хофштадтер подчеркивает, что алгоритмическое мышление компьютера действительно уступает человеку в доказательстве теорем, как описывали Лукас и Пенроуз, но компьютеры могут оказаться способны сделать что-то другое, что не в силах будут сделать уже люди.

В начале XX века многие математики рассчитывали, что скоро будут перечислены все аксиомы, нужные для ответов на все вопросы математики. Англичане Уайтхед и Рассел даже создали трехтомный учебник математики, в котором попытались собрать все аксиомы во всеобъемлющую логическую систему. Теорема Геделя показала, что их попытки были бесплодны.

Несмотря на то, что теорема Геделя имеет четкую математическую формулировку и относится к разделу формальной логики, следствия из нее оказались интересны философам, биологам, информатикам и специалистам, работающим над искусственным интеллектом.

Фото: akspic.ru